Flujo radial

Farouq Alí extendió la teoría de Buckley y Leverett para flujo radial, partiendo de la ecuación de avance frontal. 

Así se tiene:

Como la tasa de inyección es constante, la ecuación 4.83 puede escribirse finalmente como:

Además, Felsenthal y Yuster encontraron que la saturación promedio de agua detrás del frente y la saturación de agua en el frente pueden ser estimadas en forma similar a la de flujo lineal. Esta conclusión es válida para cualquier proyecto de inyección de agua independientemente de la geometría de flujo, por consiguiente, es de aplicación general

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato para tiempos posteriores a la ruptura, S' wp - Part 3

Si existe una saturación de agua móvil en el yacimiento cuando se inicia la invasión, se producirá agua antes de la ruptura. La modificación para manejar estas situaciones se discutirá más adelante. El agua inyectada expresada en volúmenes porosos en el momento en que la saturación es Sw2 viene dada por la siguiente relación:

Conociendo este volumen, y la tasa de inyección, se puede estimar el tiempo requerido para alcanzar esta etapa. Las tasas de flujo de petróleo y de agua cuando en el extremo de salida del estrato existe una saturación Sw2 vienen dadas por las siguientes ecuaciones:

Finalmente, después de la ruptura, la saturación promedio de agua en la zona barrida del yacimiento, S'wpy aumenta con el avance de la invasión. Por lo tanto, la eficiencia de desplazamiento también aumentará. Para cualquier saturación de S'wp, resulta:

En resumen, la solución de Welge5 se puede utilizar para predecir el recobro de petróleo, la RAP, E0, y el agua inyectada acumulada en función de tiempo para la inyección de agua en un sistema lineal.

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato para tiempos posteriores a la ruptura, S' wp - Part 2

Despejando de esta ecuación la derivada, se obtiene:

Por lo tanto, en el momento en que la saturación de agua en el extremo de salida del estrato es Sw2, donde Swf 

Conociendo esta saturación, se puede calcular el petróleo recuperado a este tiempo. Repitiendo estos cálculos para un número de saturaciones entre Swf y 1 – Sor , se puede estimar el comportamiento del yacimiento para diferentes Sw2. La Figura 4.34 muestra el procedimiento para calcular diferentes valores de S'wp hasta alcanzar las condiciones de abandono. 

Después de la ruptura, comienza la producción de agua en la superficie y esto puede estimarse según la siguiente ecuación:

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato para tiempos posteriores a la ruptura, S' wp - Part 1

Después de la ruptura, la saturación de agua en el extremo de salida del estrato aumentará continuamente desde Swf hasta Swmáx(Swmáx. =1-Sof), como se observa en la Figura 4.32.

Figura 4.32. Distribución de saturación en el instante de la ruptura, después de la ruptura y hasta
el momento en que se alcanza la saturación de petróleo residual.

Para calcular la saturación promedio del agua después de la ruptura, S'wp, se estima el volumen de agua inyectada que existe en el sistema a un tiempo t', donde t' > tbt. Como se observa en esta figura, el volumen de agua inyectada será:

Si se sustituye L y xSlü2 por sus expresiones correspondientes, dadas por la ecuación 4.39, se tiene:

Si se despeja S'wp de esta ecuación, se obtiene finalmente la ecuación de la saturación promedio de agua para tiempos posteriores a la ruptura:

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - III

La eficiencia de desplazamiento, ED, se define:

El cambio en la saturación de petróleo se puede expresar en términos del cambio, de la saturación de agua. Hasta el tiempo de ruptura, la saturación promedio del agua es (S wp)bt Entonces,

La ecuación 4.67 se aplica hasta la ruptura de agua cuando no existe gas presente. A la ruptura, x = L, y la ecuación de avance frontal (4.40) se puede expresar como:

Considerando el miembro izquierdo de esta ecuación, se observa que:

La ecuación 4.70 muestra que el agua inyectada a la ruptura expresada en volúmenes porosos es igual al inverso de la tangente a la curva de flujo fraccional. Si la tasa de inyección es constante, el tiempo de ruptura puede calcularse como la razón que existe entre el volumen de agua inyectada acumulada a este tiempo y la tasa de inyección, es decir:

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - II

Reemplazando en la ecuación 4.60 las respectivas expresiones de xSwf, y xSw, se obtiene la siguiente expresión:

Si se despeja Swv de esta última ecuación, se obtiene la expresión analítica para estimar la saturación promedio de agua hasta el momento de la ruptura y para la región detrás del frente de invasión:

Resolviendo la integral y simplificando:

Si se despeja de esta ecuación la derivada, se obtiene:

De donde puede deducirse que la S¡vp puede determinarse directamente mediante la intersección de la recta tangente a la curva fw vs Sw, donde fw= 1, puesto que se sabe que tal recta debe pasar por los puntos (S^f, fj) y (Swp, 1), tal como se muestra en la Figura 4.31. Se ha visto que la saturación de agua del frente de invasión y la saturación promedio del agua, Sll!f y Swp, permanecen constantes desde el comienzo de la inyección de agua hasta la ruptura. Si se considera la Figura 4.29, se observa la distribución de la saturación de agua a tres periodos diferentes: í₍, t₂ y t_bl. Se observa que en cada caso, S_wf y S_wp son constantes.

Más aún, S_wp es constante hasta la ruptura; por lo tanto, hasta el momento de la ruptura, la saturación promedio del agua se denota como 

Figura 4.31. Determinación gráfica de la saturación promedio de agua, S_wp.

Esto significa que la saturación de agua en la porción del yacimiento barrida por el agua aumenta una cantidad

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - I

A partir del gráfico de distribución de saturación con distancia, Figura 4.29, consi- dérese el caso que corresponde a la ruptura y que se representa a continuación en la Figura 4.30.

Figura 4.29. Distribución de saturación entre inyector y productor a tres tiempos diferentes incluyendo la ruptura de agua (según Smith y Cobb).

Figura 4.30. Determinación de la saturación promedio de agua en el momento de la ruptura (según Calhoun")

Se observa que la cantidad de agua que se ha inyectado a la ruptura, es igual a la cantidad de agua acumulada en el medio poroso hasta este tiempo. Haciendo este balance se tiene: (Agua inyectada ), =(Agua acumulada), Luego para la región detrás del frente de invasión, se puede escribirla ecuación: