Determinación del flujo fraccional, fw y de la relación agua-petróleo, RAP - Part 2

Finalmente, la relación agua-petróleo producida en condiciones de superficie vendrá dada por:

Determinación del flujo fraccional, fw y de la relación agua-petróleo, RAP - Part 1

Refiriéndose de nuevo a la Figura 7.14, si se observa el pozo productor, se supone que en todas las capas cuyas permeabilidades son mayores que A; está fluyendo solamente agua y la capacidad de la formación al flujo del agua será C'a y, por lo tanto, la capacidad para el flujo del petróleo será (1 - C'a). De acuerdo con la ley de Darcy, la tasa de producción de agua de la porción de formación con una capacidad C'„, es:

Eficiencia de barrido vertical, Ev - Part 2

La ecuación 7.100 se utiliza para calcular la eficiencia de barrido vertical del frente de invasión (o intrusión fraccional) en el momento en que se ha producido la ruptura en una capa cuyo espesor es /?'. La única información requerida para este cálculo son las curvas adimensionales de distribución de permeabilidad y capacidad.

Eficiencia de barrido vertical, Ev - Part 1

Puesto que el método de Stiles supone que el avance del frente de invasión es proporcional a la permeabilidad, la distribución de permeabilidad de la figura anterior es también la distribución del frente de invasión cuando se gira 90°, tal como se muestra en la Figura 7.15, donde abcd representa el volumen total invadible y la curva gfb, el frente de invasión del agua. Como la permeabilidad es adimensional, entonces el área agfba es igual a 1; es decir: W + * + Y = /. En esta figura, el segmento ab representa un pozo de inyección y el segmento cd, el pozo productor. El área abcd es aproximadamente la arena total que está siendo invadida y el área sombreada X, el área invadida de la formación que ha salido del sistema.

Como se observa en la Figura 7.14, el área bajo la curva es igual a la unidad, ya que se utilizan valores adimensionales de permeabilidad. Luego:

Distribución de permeabilidad y capacidad de flujo - III

Figura 7.13. Curvas típicas de distribución de permeabilidad y de capacidad acumulada según Stiles5.

Distribución de permeabilidad y capacidad de flujo - II

Para describir el método de Stiles es conveniente construir una tabla similar a la Tabla 7.6.

Distribución de permeabilidad y capacidad de flujo - I

Stiles considera que las irregularidades de las permeabilidades de la formación se pueden representar convenientemente por medio de dos curvas de distribución: la de la permeabilidad y la de la capacidad. Para construir dichas curvas las permeabilidades se disponen en orden decreciente, independientemente de su posición estructural en la formación. Luego estos valores se representan en función de profundidad acumulada adimensional.

La curva de distribución de capacidad es un gráfico de capacidad acumulada en función del espesor acumulado, empezando con la mayor permeabilidad. Las capacidades y los espesores se expresan como una fracción de la capacidad total y del espesor total de la formación. Matemáticamente, la curva de distribución de capacidad no es más que la integración de la curva de distribución de permeabilidad.

Método de Stiles

En 1949, Stiles5 presenta un método para predecir el comportamiento de la inyección de agua en yacimientos de petróleo parcialmente agotados, el cual toma en cuenta la variación de la permeabilidad y la distribución vertical de la capacidad productiva, donde las distancias recorridas por los fluidos en las diferentes capas son proporciona- les a las permeabilidades de cada una de ellas. Las suposiciones que lo fundamentan son:
1. Flujo lineal y continuo.
2. Las tasas de producción y de inyección en cada capa son proporcionales a su permeabilidad y a la movilidad del fluido producido a través de cada una de ellas.
3. Como la razón de movilidad es igual a uno, el avance del frente en cada capa es proporcional a su permeabilidad; sin embargo, en el cálculo del flujo fraccional de agua y de la razón agua-petróleo, la razón de movilidad puede tener cualquier valor.
4. Todas las capas tienen las mismas características con excepción de las permeabilidades.
5. En todas las capas los cambios de saturación de petróleo como consecuencia de la invasión son los mismos.
6. La eficiencia de barrido areal después de la ruptura se mantiene constante.
7. A un determinado tiempo sólo se está produciendo un fluido a través de cada capa.

Utilizando los gráficos de Johnson

Se utiliza la ecuación 7.88 para calcular Np y el resto del procedimiento es igual al descrito. La diferencia fundamental con el caso anterior es que no se requiere el paso previo para obtener C.

Utilizando el módulo de recuperación

Para realizar la predicción usando los datos experimentales, el procedimiento es similar al anterior, sólo que el petróleo recuperado se obtiene multiplicando el petróleo en la zona invadida por el valor de R, obtenido paira cada Cy para cada RAP\ es decir

Procedimiento para la predicción - III

Procedimiento para la predicción - II

Figura 7.12. Método gráfico de Johnson.

Procedimiento para la predicción - I

Utilizando los gráficos de intrusión fraccional

Gráficos de Johnson

Johnson en 1956 presentó un método gráfico que se muestra en la Figura 7.12, a partir del cual en una sola curva para relaciones agua-petróleo constantes y para diferentes valores de Mu, 0 y C, se puede obtener R(\-SWRAP 0 2)y determinar R. La diferencia fundamental con el módulo de recuperación radica en la forma de calcular R, puesto que en este método no se requiere determinar previamente C.

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - VII

En su trabajo original, Dykstra y Parsons presentan una correlación para determinar la recuperación fraccional en función de C. Esta correlación, que se presenta en la Figura 7.11, está basada en los resultados obtenidos de pruebas experimentales lleva- das a cabo en núcleos de varios campos de California. Las muestras fueron saturadas con cantidades conocidas de agua, gas y petróleo, y luego fueron sometidas a invasión con agua midiendo las recuperaciones y las relaciones agua-petróleo. Conocidas las permeabilidades relativas y las viscosidades de los fluidos, determinaron la razón de movilidad. Con todos estos valores construyeron un gráfico de R(\-SU¡RAP 0,2) vs log(l -C), donde el módulo de recuperación está representado por R(\-Sul RAP~0 2); R es el factor de recobro o recuperación fraccional y Sw, la saturación de agua inicial.

Figura 7.11. Módulo de recuperación en función de la intnisión fraccional (según Dykslra y Parsons).

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - VI

donde Wp es el agua acumulada producida hasta un determinado valor de Np y está representada por el área bajo la curva- Así se tiene:

donde q, es la lasa de inyección de agua la cual se supone es constante. Así, encontrada el área bajo la curva del gráfico de RAPCN vs Np para un determinado Np, es posible obtener curvas para el agua inyectada acumulada en función de RAPCN y de Np en función de tiempo. Para calcular la tasa de producción basta con dividir las diferencias de los Np entre las correspondientes diferencias en tiempo.

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - V

en la Figura 7.10, con la cual es posible estimar la cantidad de agua producida, WpJ integrando el área bajo la curva. De acuerdo con esta gráfica, la RAPCN se puede calcular también con la siguiente ecuación:

Figura 7.10. Gráfico de RAP en función de petróleo recuperado.

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - IV

Figura 7.9. Intrusión fraccionai en función de la variación de permeabilidad y de la razón de movilidad (según Dykstra y Parsons).

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - III

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - II

Por lo tanto, sólo es necesario conocer el coeficiente V para caracterizar la distribución de permeabilidad. Puede comprobarse que si tocias las permeabilidades son iguales, V es igual a cero; y a medida que las diferencias del perfil aumentan, V también aumenta. Así, es posible construir las curvas generalizadas que aparecen en la Figura 7.9, las cuales relacionan C con la variación de permeabilidad Vy la razón de mo- j vilidad, Mw o para RAP de 1,5, 25 y 100.

Una vez determinado C, se calcula ei petróleo producido acumulado, Np, usando la ecuación:

Cálculo del coeficiente de variación de permeabilidad - I

7. Calcular la variación de permeabilidad por medio de la siguiente ecuación:

Gráficos de intrusión fraccional, C - Part 2

En esta figura se observa cómo la razón de movilidad influye notablemente en la forma en que varía la relación agua-petróleo al cambiar la intrusión fraccional. Para un mismo valor de C, la relación agua-petróleo crece al aumentar la razón de movilidad, lo cual implica que la cantidad de petróleo recuperado para una misma cantidad de agua inyectada disminuye al aumentar la razón de movilidad. 

La magnitud de la permeabilidad no es importante, ya que en los cálculos apare- ce la razón de permeabilidades; en consecuencia, si todas las características de la formación se consideran constantes, con excepción de las permeabilidades, una misma curva de RAP vs C puede utilizarse para varias formaciones siempre y cuando el número de capas sea el mismo y la razón de permeabilidades de las capas en la misma posición sea una constante para todas las capas. Esta condición es difícil de lograr, por lo que Dykstray Parsons introducen el término estadístico variación de permeabilidad, Vt para caracterizar la distribución de permeabilidad con un solo número. Para ello colocaron en orden decreciente las permeabilidades que constituyen un determinado perfil y en un papel log-probabilístico representaron el porcentaje del número total de permeabilidades que son mayores que cada una de ellas (porcentaje mayor que) vs el logaritmo de cada permeabilidad, lo cual generó una línea recta que define el coeficiente de variación de permeabilidad, V, que esencialmente representa la pendiente de esta línea recta.

Gráficos de intrusión fraccional, C - Part 1

Para una formación determinada y usando las ecuaciones 7.68 y 7.78, se puede construir la curva de la relación agua-petróleo vs intrusión fraccional, la cual tendría una forma similar a la mostrada en la Figura 7.7.

Cálculo de la relación agua-petróleo, RAP - II

Esta ecuación considera que todas las capas tienen el mismo ancho, el mismo es- pesor y que las porosidades en cada capa son iguales. Una expresión más general, ven- drá dada por:

Cálculo de la relación agua-petróleo, RAP - I

Mientras no se produzca la ruptura en la capa de mayor permeabilidad, todas tas capas estarán produciendo petróleo y la relación agua-petróleo producida será igual a cero. Si se ha producido la ruptura en la capam, solamente estará fluyendo agua en los estratos con permeabilidad mayor que la del estrato m. El flujo total de agua por unidad de cincho es:

Cubrimiento vertical o intrusión fraccional, C - II

luego:

Cubrimiento vertical o intrusión fraccional, C - I

La intrusión fraccional se define como la fracción del yacimiento que ha sido invadida por el agua. Sea n el número total de capas en el sistema arregladas en orden decreciente de permeabilidad. Cuando la capa m ha alcanzado la ruptura, todas las capas con permeabilidades mayores que ella también habrán alcanzado la ruptura; luego, la fracción del yacimiento para el cual todas las capas han sido invadidas es m/n. Las capas remanentes, que tienen permeabilidades menores que la capa m, estarán sólo parcialmente barridas. La distancia de avance del frente en la capa 1(1 > m), cuando se produce la ruptura en la capa m, viene dada por:

es justamente la fracción de la capa i que ha sido invadida. La expresión completa de la intrusión fraccional será entonces:

Método de Dykstra y Parsons - Consideraciones teóricas - V

Así, cuando se ha producido la ruptura en la capa m, resulta la siguiente ecuación:

La ecuación 7.60 da la distancia de avance del frente en la capa /' que tiene una permeabilidad menor que la capa m, cuando se ha producido la ruptura en la capa m. Si en la ecuación 7.58 la razón de movilidad es igual a uno, entonces, cuando se produce la ruptura en la primera capa:

Esta ecuación constituye la suposición básica del método de Stíles5, la cual considera que la relación de las distancias de avance en los diferentes estratos es la misma que corresponde a la razón de permeabilidades. 

Así, el método de Stiles proporcionará la misma respuesta que el de Dykstra y Parsons cuando la razón de movilidad es igual a uno. 

A continuación, se derivará una expresión que permite estimar la intrusión fraccional cuando se ha producido la ruptura en el estrato m.

Método de Dykstra y Parsons - Consideraciones teóricas - IV

Rearreglando la ecuación 7.57, se obtiene:

Por lo tanto, se debe seleccionar el signo menos en la ecuación 7.59 para que tenga sentido físico.

Método de Dykstra y Parsons - Consideraciones teóricas - III

Esto da la velocidad del frente de invasión en el estrato /'. Para hallar la distancia que ha viajado la interfase agua-petróleo en el estrato i, cuando el primer estrato ha alcanzado la ruptura, se debe considerar la relación de velocidades:

Método de Dykstra y Parsons - Consideraciones teóricas - II

De la definición de razón de movilidad, se tiene:

Aplicando esta definición en la ecuación 7.51, se puede escribir:

Se desea hallar la relación de la distancia de avance en un estrato cuando x = L con respecto a la posición de la interfase, x,, en cualquier otro estrato con una permeabilidad menor. La velocidad en cualquier estrato viene dada por: