Ecuaciones simplificadas del flujo fraccional

La Tabla 4.1 muestra cada uno de los casos que simplifican la ecuación de flujo fraccional.

  Tabla 4.1 

Ecuaciones simplificadas del flujo fraccional de agua

Ecuación de flujo fraccional - VI

El primer término a la derecha de esta ecuación es la pendiente de la curva de presión capilar, Figura 4.5a, y es siempre negativo. El segundo, es la pendiente del perfil de saturación de agua en la dirección de flujo, tal como se muestra en la Figura 4.5b.

Figura 4.5. (a) Curva de presión capilar; y (b) distribución de saturación en función de la distancia (según Dake

En estas gráficas se observa que dSw /dx es también negativo. Por lo tanto, dPc /dx es siempre positivo y, en consecuencia, la presencia de un gradiente de presión capilar tiende a incrementar el flujo fraccional del agua. Cuantitativamente, es difícil considerar el gradiente de presión capilar aun cuando se disponga de una curva representativa de presión capilar, ya que no es posible conocer el perfil de saturación de agua, pues éste es el resultado que se requiere de los cálculos de desplazamiento. 

La distribución de saturación de agua mostrada en la Figura 4.5b, que representa la situación después de inyectar un determinado volumen de agua, es una distribución del desplazamiento de petróleo por agua. La figura muestra que existe un frente de saturación, en el cual hay una discontinuidad en la saturación de agua que aumenta abruptamente desde SUK hasta Slvf, la saturación de agua del frente. Es en este frente de saturación donde ambas derivadas de la ecuación 4.13 tienen su máximo valor, lo cual es evidente al analizar las Figuras 4.5a y 4.5b, y, por lo tanto, 8PC /dx es también máximo. Detrás del frente de invasión existe un crecimiento gradual de fw desde S^ hasta el valor máximo (1 - S^). En esta región es normal considerar que ambas derivadas dPc /dSu, y dSul /dx son pequeñas y que, por lo tanto, pueden ser eliminadas en la ecuación de flujo fraccional. Luego, en general se supone

Ecuación de flujo fraccional - V

Si se analiza la ecuación 4.10 se observa que existen tres fuerzas que controlan el flujo fraccional de agua: las fuerzas capilares, las fuerzas gravitacionales y las fuerzas viscosas. Las fuerzas capilares aumentan el flujo fracciona] y se representan por el siguiente término:

Las fuerzas gravitadonales pueden disminuir o aumentar el flujo fraccional del agua, dependiendo de si el agua se inyecta buzamiento arriba o buzamiento abajo y se representan así:

Las fuerzas viscosas dependen de las viscosidades de los fluidos y de las permeabilidades efectivas al petróleo y al agua, las cuales deben evaluarse a las respectivas saturaciones de petróleo y agua en puntos dentro de la zona invadida, de tal manera que SB+Sw=1. Estas fuerzas se representan en la ecuación 4.10 por el término:

En todas las ecuaciones de flujo fraccional se observa que la principal dificultad radica en la determinación del término dPc /dx. Puesto que la expresión o representación de Pc en función de * no es directamente posible, en su lugar se acostumbra obtener esta derivada mediante la ecuación siguiente:

Ecuación de flujo fraccional - IV

Multiplicando numerador y denominador del segundo miembro de la ecuación

En este caso, las permeabilidades deben expresarse en darcy, las viscosidades en centípoise, el área en pies, la tasa de inyección en BPD, el gradiente de presión capilar

Ecuación de flujo fraccional - III

Considerando la arena preferencialmente mojada por agua, puede establecerse por definición de presión capilar:

Considerando que las condiciones de flujo son las correspondientes al flujo continuo o estacionario, la tasa de inyección total es igual a la suma del flujo de cada fase, por lo tanto:

Ecuación de flujo fraccional - II

Como se desea modelar el flujo de dos fluidos inmiscibles a través del medio poroso, se aplicará la ley de Darcy generalizada para cada uno de los fluidos, resultando las siguientes ecuaciones:

Ecuación de flujo fraccional - I

El desarrollo de esta ecuación se atribuye a Leverett4 y para deducirla, se considera un desplazamiento tipo pistón con fugas, en el cual el fluido desplazado es el petróleo y el desplazante es agua.

Sea el caso general de una formación homogénea con permeabilidad k y porosidad , saturada con petróleo y agua connata, sometida a la inyección de fluidos a una tasa q,. Tal como se muestra en la Figura 4.3, la formación se encuentra inclinada un cierto ángulo, a, con respecto a la horizontal y tiene una longitud L y un área seccional A.