Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - III

Figura 4.20. Derivada del flujo fraccional en
función de saturación de agua
(según Ferrer).

Sin embargo, existe una dificultad matemática cuando se aplica esta técnica, la cual se aprecia cuando se considera la curva típica de flujo fraccional (Figura 4.19) en conjunto con la ecuación 4.39. Como generalmente existe un punto de inflexión en la curva de flujo fraccional, entonces la representación gráfica de {dfw /dSw)lSw vs Sw presentará un punto máximo, tal como se muestra en la Figura 4.20, donde se observa que entre la saturación de agua connata, SUIC, y la máxima saturación de agua, existen dos valores de Sw para los cuales la derivada (dfw fdSw), es única. Luego, la distribución de saturación con distancia, presentará una forma similar a la mostrada en la Figura 4.21.

Este perfil de saturación es físicamente imposible, ya que indica que en un determinado punto del yacimiento pueden coexistir múltiples saturaciones. Buckley y Leverett, Calhoun y Welge, presentaron soluciones a este problema.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - II

A un tiempo dado posterior al comienzo de la inyección (VV; = constante), se puede representar la posición de diferentes planos de saturación, mediante la ecuación 4.39,simplemente calculando la pendiente a la curva de flujo fraccional

Para cada saturación. De acuerdo con la ecuación 4.39, la distancia x recorrida por un frente de saturación constante en el intervalo de tiempo t, es proporcional a la pendiente de la recta tangente a la curva de flujo fraccional a esta saturación

Por consiguiente, si se construye el gráfico de la pendiente a la curva de flujo fraccional a varias saturaciones, es posible determinar la distribución de saturación en el yacimiento en función de tiempo.

Figura 4.19. Pendiente a la curva de flujo fraccional a diferentes saturaciones
de agua.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - I

Integrando la ecuación 4.32 para determinar la distancia x recorrida por un plano de saturación constante, resulta:

En unidades prácticas, la ecuación de avance frontal viene dada por:

donde

Longitud de la zona estabilizada - III

La Figura 4.18, muestra cómo se mide

Figura 4.18. Distribución de saturación en la zona estabilizada mostrando la posición de un frente de saturación constante para (Swc < S_w < Swf).

Longitud de la zona estabilizada - II

No es posible resolver analíticamente la integral de la ecuación 4.37 y, por lo tanto, deben utilizarse métodos numéricos o gráficos. La representación gráfica de los términos en la integral, en función de saturación, se muestra en la Figura 4.! 7. Esta figura puede utilizarse convenientemente para obtener la distribución de saturación en la zona estabilizada; en tal caso, la longitud a la cual se encuentra un plano de saturación Su„ medida a partir del punto de la zona estabilizada más lejano del extremo de inyección, viene dada por:

Longitud de la zona estabilizada - I

Considerando que el desplazamiento se está llevando a cabo en una arena horizontal, la ecuación 4.33 está representada por la curva (1) de la Figura 4.15, y la curva (2) está dada por la fórmula simplificada de la ecuación de flujo fraccional (ecuación 4.14).

Puesto que sólo se desea obtener la longitud de la zona estabilizada, puede expresarse más convenientemente como sigue:

Como las saturaciones de la zona estabilizada varían entre Swf y Swc, puede obtenerse su longitud por integración entre tales límites:

Concepto de zona estabilizada - II

Para que sea constante para Sw comprendida entre es necesario que la curva de fw vs S^ sea recta en ese intervalo, de manera que tal gráfico tenga la forma mostrada en la Figura 4.15. 

Experimentalmente se ha comprobado que cuando exista zona estabilizada la distribución de saturación será la presentada en la Figura 4.16.

Figura 4.16. Distribución de saturación con distancia cuando existe zona estabilizada (según
Smllh).