Solución de Calhoun

Se basa en la distribución de saturación propuesta por Buckley y Leverett, pero requiere que la distribución inicial de saturación sea uniforme, tal como se muestra en la Figura 4.23.

Figura 4.23. Distribución de saturación con distancia según Calhoun".

Calhoun considera que a un determinado tiempo antes de la irrupción, la cantidad de agua inyectada es igual a la cantidad de agua acumulada en el estrato. Así, se tiene:

Igualando las ecuaciones 4.41 y 4.42 y sustituyendo las ecuaciones 4.43 y 4.44, se tiene:

AI resolverse esta expresión, se obtiene:

Solución de Buckley y Leverett

La distribución de saturación que proponen Buckley y Leverett2 parte de la distribución de saturación de la Figura 4.21. Para ubicar el frente de saturación, consideran que en la curva de distribución existe una porción imaginaria (área A) y que la curva de distribución verdadera tiene una discontinuidad en el frente. El método consiste en trazar una vertical de manera que las áreas encerradas a la derecha (área A) y a la izquierda de ella (área B), sean iguales, tal como se muestra en la Figura 4.22. Así se llega a un punto donde existe una caída brusca de Sw hasta el valor inicial Su<. La saturación correspondiente a ese punto es la saturación del frente de invasión, Swf.

Figura 4.22. Distribución de saturación con distancia según Buckley y Leverett.

Este procedimiento no considera los efectos capilares, por lo que no muestra una situación real del proceso, ya que, como se mostró en la sección anterior, el frente de invasión no existe como una discontinuidad, sino como una zona estabilizada de longitud finita con un alto gradiente de saturación.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - Gráfica

Figura 4.21. Distribución de saturación de agua a diferentes tiempos (según Smith y Cobb).

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - III

Figura 4.20. Derivada del flujo fraccional en
función de saturación de agua
(según Ferrer).

Sin embargo, existe una dificultad matemática cuando se aplica esta técnica, la cual se aprecia cuando se considera la curva típica de flujo fraccional (Figura 4.19) en conjunto con la ecuación 4.39. Como generalmente existe un punto de inflexión en la curva de flujo fraccional, entonces la representación gráfica de {dfw /dSw)lSw vs Sw presentará un punto máximo, tal como se muestra en la Figura 4.20, donde se observa que entre la saturación de agua connata, SUIC, y la máxima saturación de agua, existen dos valores de Sw para los cuales la derivada (dfw fdSw), es única. Luego, la distribución de saturación con distancia, presentará una forma similar a la mostrada en la Figura 4.21.

Este perfil de saturación es físicamente imposible, ya que indica que en un determinado punto del yacimiento pueden coexistir múltiples saturaciones. Buckley y Leverett, Calhoun y Welge, presentaron soluciones a este problema.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - II

A un tiempo dado posterior al comienzo de la inyección (VV; = constante), se puede representar la posición de diferentes planos de saturación, mediante la ecuación 4.39,simplemente calculando la pendiente a la curva de flujo fraccional

Para cada saturación. De acuerdo con la ecuación 4.39, la distancia x recorrida por un frente de saturación constante en el intervalo de tiempo t, es proporcional a la pendiente de la recta tangente a la curva de flujo fraccional a esta saturación

Por consiguiente, si se construye el gráfico de la pendiente a la curva de flujo fraccional a varias saturaciones, es posible determinar la distribución de saturación en el yacimiento en función de tiempo.

Figura 4.19. Pendiente a la curva de flujo fraccional a diferentes saturaciones
de agua.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - I

Integrando la ecuación 4.32 para determinar la distancia x recorrida por un plano de saturación constante, resulta:

En unidades prácticas, la ecuación de avance frontal viene dada por:

donde

Longitud de la zona estabilizada - III

La Figura 4.18, muestra cómo se mide

Figura 4.18. Distribución de saturación en la zona estabilizada mostrando la posición de un frente de saturación constante para (Swc < S_w < Swf).