Efecto de! módulo de Poisson - II

La curva esfuerzo/deformac¡ón(a) es lineal para la mayoría de las rocas y finaliza en forma abrupta en el punto F. Anteriormente se mencionó que la relación lineal esta representada por E (módulo de Young). Sin embargo, esta relación sólo es cierta si el material es linealmente elástico. La figura 20 muestra que la curva tiene varias regiones antes de la falla. La figura (b) muestra un material perfectamente elástico. Esto está definido por una única relación entre el esfuerzo y la deformación que no necesita ser lineal. 

La elasticidad perfecta se tiene cuando el material se somete gradualmente a un esfuerzo y cuando se libera éste la ruta sigue la misma tendencia en sentido inverso. Además, la energía almacenada en la carga se disipa en la descarga. Por lo tan- to, no hay un modulo único, sino que para cualquier valor correspondiente a un punto P, la pendiente PQ de la tangente a la curva es el modulo tangente de Young y la pendiente de la secante OP, ole, se llama el módulo secante. 

La figura c muestra el comportamiento del material elástico. Un material se llama elástico si después del esfuerzo y liberación, antes de la falla, la deformación va a cero, aunque no necesariamente por la ruta de carga. Este efecto se llama histeresis y es causado por la disipación de energía de procesos tales como la creación de nuevas microfracturas. Al inicio se mencionó que una fuerza compresiva aplicada en un cilindro de roca causará deformación. Si la roca se comprime en una dirección, se acortará en esa dirección y se expandirá en forma lateral. La figura 21 ¡lustra el cambio en diámetro con el cambio de longitud debido a una fuerza compresional.

Efecto de! módulo de Poisson - I

Un espécimen de roca, tal como un cilindro cuya longitud es de dos a tres veces su diámetro, se deformará cuando esté sujeto a compresión axial. Entre más alto sea el nivel de esfuerzos, mayor deformación experimentará la roca. Las deformaciones axiales y laterales para cualquier campo de esfuerzos aplicado, se pueden medir con manómetros de deformación fijados a la muestra de roca. La gráfica del esfuerzo aplicado contra la deformación producirá una curva similar a la de la figura 19.

Esta curva tiene distintas regiones. En la región no lineal (OA) la roca tiende a comprimirse debido a las microfracturas preexistentes que se cierran y a los minerales que se comprimen ligeramente. Si la roca se removiera, la mayoría de las microfracturas permanecerían cerradas y resultaría en una deformación neta. La porosidad de las fracturas está relacionada con esta deformación. Continuando con la aplicación de carga (A a B), la mayoría de las fracturas cerradas producen la compresión neta de la roca y donde los poros se deforman y los granos se comprimen a un ritmo lineal. Esta forma lineal se representa por un coeficiente de proporcionalidad, E, el cual se llama módulo de Young y se define como:

La mayoría de las rocas presentan esta respuesta en un amplio rango de carga y, por lo tanto, el módulo de Young es una medición de la rigidez de la roca o el parámetro que expresa la resistencia a la deformación que una tiene para una determinada condición de carga. Continuando más allá del punto B con la aplicación de la carga, se origina un daño que no es reversible debido a que ocurren grandes deformaciones y el módulo total es más alto. De esta manera la descripción del comportamiento de la roca se vuelve más difícil usando un modelo elástico constante. Sin embargo, el uso de una secante así como un módulo tangente pueden hacerlo más sencillo. La diferencia en esos dos módulos puede ser significativa y debe tenerse cuidado al utilizar los datos reportados. Una forma más clara de visualizar la relación esfuerzo/deformación se tiene al analizar la figura 20 (a, b y c).

Definición de deformación

La posición relativa de los puntos dentro de un cuerpo se alterará cuando el cuerpo se someta a un campo de esfuerzos. En términos de la mecánica del medio continuo, es el desplazamiento de todos los puntos del cuerpo. La posición inicial (x, y, z) de cada punto se conoce y las fuerzas aplicadas originan el desplazamiento a una posición final. Como el signo usado para el desplazamiento debe ser similar al del esfuerzo, el desplazamiento positivo corresponde a esfuerzos positivos. El objetivo final es determinar el desplazamiento inicial de cada punto a partir de los esfuerzos y las condiciones de frontera. Las cantidades intermedias, llamadas deformaciones, se deben tomar en cuenta para llevar a cabo esta determinación. La translación de un cuerpo rígido es una forma simple de desplazamiento en la cual la posición relativa de los puntos no se altera. La rotación de un cuerpo sólido alrededor de un eje fijo es otra forma de desplazamiento. Si las posiciones de los puntos dentro de un cuerpo sufren variación de la posición inicia I a la posición final, entonces se considera que el cuerpo está deformado y la medición de esta deformación es necesaria. La figura 18 ilustra los métodos más comunes para medir la deformación. Un método es el cambio de longitud; el otro, es el cambio de ángulo.

Por lo tanto, si I es la distancia entre los puntos O y P en el cuerpo sin deformar y I' es la distancia en la condición deformada, se tiene:

Lo anterior se denomina el esfuerzo de deformación. Debido a que los esfuerzos se consideraron positivos en compresión, este esfuerzo de deformación positiva refleja un incremento en el ángulo y la deformación lineal positiva (e ) corresponde a un decremento en longitud.

Análisis de esfuerzos - III

Que es la ecuación para el esfuerzo normal al plano de fractura.

Realizando las sustituciones necesarias (Se deja de ejemplo al lector) se tiene:

Que es la ecuación para el esfuerzo cortante, en el plano de fractura.

Análisis de esfuerzos - II

Esfuerzo normal

En la figura 17 se observa que el esfuerzo x actúa perpendicular sobre la proyección vertical del plano de fractura Av.

La fuerza normal estará definida por:

Observando las figura 17 la relación de áreas es la misma por tratarse de un cuerpo homogéneo e isotrópico o sea aquél cuyas propiedades son idénticas en todas direcciones; es decir, que sus propiedades no dependen de la dirección en que se miden. Por lo tanto:

Análisis de esfuerzos - I

Con el fin de facilitar la comprensión y el planteamiento matemático del sistema básico de esfuerzos se recurrirá a un modelo teórico simple en un plano bidimensional. El sistema bidimensional utiliza sólo al plano xy y todo es independiente de z. Considere al plano xy como el plano del papel. Considere una sección de formación en forma de una barra con extremos infinitamente grandes sujeta a la acción de esfuerzos biaxiales, ax y a, aplicados sobre un par de ejes normales. El análisis se llevará a cabo sobre un plano inclinado (plano de fractura) que divide al cuerpo en dos bloques (figura 14).

Estas condiciones finales se deben a dos esfuerzos resultantes: Un esfuerzo normal, an, al plano inclinado; es decir, actúa perpendicularmente sobre lascaras de la fractura. Se llamará

Debemos recordar que un esfuerzo es una fuerza aplicada en un área. Por lo tanto se transformará el sistema de esfuerzos en su sistema correspondiente de fuerzas (figura 16) y los resultados se expresarán en función de los esfuerzos.

Definición de esfuerzo - II

Observando lafigura 12, puede existir un número infinito de planos a través del punto O. Aunque la fuerza resultante en esos planos es la misma, los esfuerzos actuantes en los diferentes planos son distintos debido a las diferentes inclinaciones. Además, para una completa definición del estado de esfuerzos es necesario especificar la magnitud, dirección, sentido y superficie en las cuales actúan los esfuerzos. Para esta situación considere la figura 13 la cual es un sistema rectangular de ejes.

Dirija OP en el sentido del eje X y el vector POX, tendrá componentes en las direcciones x, y, z que pueden escribirse como r , r y r . Como el área óA es x XV xz perpendicular a Ox, el esfuerzo óx es el esfuerzo normal. Note que r^ y r^ están en el plano de área óA y son los ejes fuerzos de cizallamiento que tienden a separar el material en el plano óA. Para los ejes y y z existen las mismas componentes. Existen entonces nueve cantidades que se llaman las componentes del esfuerzo en el punto O. El sistema se reduce a seis componentes y el vector de esfuerzos P0p puede expresarse en cualquier dirección de OP en términos de esas 6 componentes. (Se deja al lector la deducción).