Ecuación de flujo fraccional - VI

El primer término a la derecha de esta ecuación es la pendiente de la curva de presión capilar, Figura 4.5a, y es siempre negativo. El segundo, es la pendiente del perfil de saturación de agua en la dirección de flujo, tal como se muestra en la Figura 4.5b.

Figura 4.5. (a) Curva de presión capilar; y (b) distribución de saturación en función de la distancia (según Dake

En estas gráficas se observa que dSw /dx es también negativo. Por lo tanto, dPc /dx es siempre positivo y, en consecuencia, la presencia de un gradiente de presión capilar tiende a incrementar el flujo fraccional del agua. Cuantitativamente, es difícil considerar el gradiente de presión capilar aun cuando se disponga de una curva representativa de presión capilar, ya que no es posible conocer el perfil de saturación de agua, pues éste es el resultado que se requiere de los cálculos de desplazamiento. 

La distribución de saturación de agua mostrada en la Figura 4.5b, que representa la situación después de inyectar un determinado volumen de agua, es una distribución del desplazamiento de petróleo por agua. La figura muestra que existe un frente de saturación, en el cual hay una discontinuidad en la saturación de agua que aumenta abruptamente desde SUK hasta Slvf, la saturación de agua del frente. Es en este frente de saturación donde ambas derivadas de la ecuación 4.13 tienen su máximo valor, lo cual es evidente al analizar las Figuras 4.5a y 4.5b, y, por lo tanto, 8PC /dx es también máximo. Detrás del frente de invasión existe un crecimiento gradual de fw desde S^ hasta el valor máximo (1 - S^). En esta región es normal considerar que ambas derivadas dPc /dSu, y dSul /dx son pequeñas y que, por lo tanto, pueden ser eliminadas en la ecuación de flujo fraccional. Luego, en general se supone

Ecuación de flujo fraccional - V

Si se analiza la ecuación 4.10 se observa que existen tres fuerzas que controlan el flujo fraccional de agua: las fuerzas capilares, las fuerzas gravitacionales y las fuerzas viscosas. Las fuerzas capilares aumentan el flujo fracciona] y se representan por el siguiente término:

Las fuerzas gravitadonales pueden disminuir o aumentar el flujo fraccional del agua, dependiendo de si el agua se inyecta buzamiento arriba o buzamiento abajo y se representan así:

Las fuerzas viscosas dependen de las viscosidades de los fluidos y de las permeabilidades efectivas al petróleo y al agua, las cuales deben evaluarse a las respectivas saturaciones de petróleo y agua en puntos dentro de la zona invadida, de tal manera que SB+Sw=1. Estas fuerzas se representan en la ecuación 4.10 por el término:

En todas las ecuaciones de flujo fraccional se observa que la principal dificultad radica en la determinación del término dPc /dx. Puesto que la expresión o representación de Pc en función de * no es directamente posible, en su lugar se acostumbra obtener esta derivada mediante la ecuación siguiente:

Ecuación de flujo fraccional - IV

Multiplicando numerador y denominador del segundo miembro de la ecuación

En este caso, las permeabilidades deben expresarse en darcy, las viscosidades en centípoise, el área en pies, la tasa de inyección en BPD, el gradiente de presión capilar

Ecuación de flujo fraccional - III

Considerando la arena preferencialmente mojada por agua, puede establecerse por definición de presión capilar:

Considerando que las condiciones de flujo son las correspondientes al flujo continuo o estacionario, la tasa de inyección total es igual a la suma del flujo de cada fase, por lo tanto:

Ecuación de flujo fraccional - II

Como se desea modelar el flujo de dos fluidos inmiscibles a través del medio poroso, se aplicará la ley de Darcy generalizada para cada uno de los fluidos, resultando las siguientes ecuaciones:

Ecuación de flujo fraccional - I

El desarrollo de esta ecuación se atribuye a Leverett4 y para deducirla, se considera un desplazamiento tipo pistón con fugas, en el cual el fluido desplazado es el petróleo y el desplazante es agua.

Sea el caso general de una formación homogénea con permeabilidad k y porosidad , saturada con petróleo y agua connata, sometida a la inyección de fluidos a una tasa q,. Tal como se muestra en la Figura 4.3, la formación se encuentra inclinada un cierto ángulo, a, con respecto a la horizontal y tiene una longitud L y un área seccional A.

Teoría de desplazamiento o de Buckley y Leverett

La teoría de Buckley y Leverett para estudiar el desplazamiento de un fluido no humectante por otro humectante o viceversa, fue presentada inicialmente en 1941, pero no recibió mucha atención sino hasta los últimos años de la década de los cuarenta. Dicha teoría considera dos fluidos inmiscibles: desplazante y desplazado, y su desarrollo se basa en el concepto de permeabilidades relativas y en la idea de un desplazamiento tipo pistón con fugas; esto significa que existe una cantidad considerable de petróleo que queda detrás del frente de invasión debido a la superficie irregular que presenta el medio poroso. La teoría de un desplazamiento tipo pistón es sin duda una simplificación en el caso de un yacimiento sujeto a un barrido lineal, ya que si bien es cierto que detrás del frente existe una región de flujo de dos fases, esta región es a menudo de extensión limitada y su influencia resulta insignificante, pues representa menos del 5% del volumen poroso.

La mayor limitación de esta teoría es que se aplica a un sistema lineal, como es el caso cuando ocurre un empuje natural de agua, una inyección periférica de agua o una expansión de la capa de gas; pero esto no es lo que sucede en muchos de los arreglos de pozos existentes en las operaciones de recuperación secundaria que no podrían simularse en una sola dimensión. Sin embargo, usando el concepto de eficiencia de barrido, se pueden utilizar algunas técnicas que permiten extender estos cálculos a sistemas no lineales.

La teoría de desplazamiento, además de suponer flujo lineal y continuo de dos fases, también supone la formación homogénea, con una saturación de agua connata constante a lo largo del yacimiento; igualmente se consideran constantes la tasa de inyección y el área perpendicular al flujo. Por último, supone que, para que existan condiciones de equilibrio, la presión y temperatura del yacimiento también deben permanecer constantes.

Aunque esta teoría puede aplicarse al desplazamiento de petróleo con gas o agua, en sistemas humectados por petróleo o por agua, en la deducción de las ecuaciones básicas sólo se considerará el desplazamiento de petróleo con agua en un sistema humectado preferencialmente por el agua, en cuyo caso, la presión de desplazamiento debe ser mayor que la presión de burbujeo. 

La formulación matemática de la teoría desarrollada originalmente por Leverett, permite determinar la saturación de la fase desplazante en el frente de invasión en el sistema lineal. Posteriormente, Welge realizó una extensión que permite calcular la saturación promedio de la fase desplazante y la eficiencia de desplazamiento; además, determinó la relación que existe entre la saturación de la fase desplazante en el extremo de salida del sistema y la cantidad de agua inyectada a ese tiempo.