Longitud de la zona estabilizada - II

No es posible resolver analíticamente la integral de la ecuación 4.37 y, por lo tanto, deben utilizarse métodos numéricos o gráficos. La representación gráfica de los términos en la integral, en función de saturación, se muestra en la Figura 4.! 7. Esta figura puede utilizarse convenientemente para obtener la distribución de saturación en la zona estabilizada; en tal caso, la longitud a la cual se encuentra un plano de saturación Su„ medida a partir del punto de la zona estabilizada más lejano del extremo de inyección, viene dada por:

Longitud de la zona estabilizada - I

Considerando que el desplazamiento se está llevando a cabo en una arena horizontal, la ecuación 4.33 está representada por la curva (1) de la Figura 4.15, y la curva (2) está dada por la fórmula simplificada de la ecuación de flujo fraccional (ecuación 4.14).

Puesto que sólo se desea obtener la longitud de la zona estabilizada, puede expresarse más convenientemente como sigue:

Como las saturaciones de la zona estabilizada varían entre Swf y Swc, puede obtenerse su longitud por integración entre tales límites:

Concepto de zona estabilizada - II

Para que sea constante para Sw comprendida entre es necesario que la curva de fw vs S^ sea recta en ese intervalo, de manera que tal gráfico tenga la forma mostrada en la Figura 4.15. 

Experimentalmente se ha comprobado que cuando exista zona estabilizada la distribución de saturación será la presentada en la Figura 4.16.

Figura 4.16. Distribución de saturación con distancia cuando existe zona estabilizada (según
Smllh).

Concepto de zona estabilizada - I

La ecuación de flujo fraccional para una formación horizontal preferencialmente mojada por agua, tomando en cuenta las fuerzas capilares, se escribe como sigue:

La ecuación 4.33 indica que el flujo fraccional de agua es una función de la saturación de dicha fase, la que a su vez lo es de distancia; así que la influencia del término que contiene

dependera de la saturación 

La consideración anterior, así como los resultados de laboratorio, han permitido llegar a la conclusión de que el frente de invasión no es plano, tal como se ha venido considerando hasta ahora, sino que es una zona de extensión y forma definida que se mantiene con el tiempo. Esta zona o región se estabiliza al poco tiempo de comenzar la inyección, por lo que se acostumbra denominarla zona estabilizada.

La existencia de dicha zona permite llegar a la conclusión de que algunas de las ecuaciones o procedimientos descritos hasta ahora deben modificarse para tomarla en consideración y estudiar su efecto sobre la recuperación. El hecho de que su forma no cambia con el tiempo implica que (cbc/dt) es constante para todo Sw comprendido entre S^ y SuY, y. puesto que (dx/dt) es proporcional a (afw /aS)u, esta derivada debe también ser constante para el mismo intervalo de saturaciones.

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - III

Igualando las ecuaciones 4.18 y 4.20 se obtiene el cambio del volumen de agua a un determinado tiempo en función del cambio experimentado por la fase agua a ese mismo tiempo:

Sustituyendo la ecuación 4.23 en la ecuación 4.21, resulta la expresión siguiente:

Esta ecuación da la saturación de agua como una función de tiempo en el punto x, dentro del sistema lineal, pero la expresión que se requiere es la de saturación de agua como una función de x a un determinado tiempo t. Como se conoce que Sw es, en forma general, una función de x y t, se puede escribir:

Por tanto, si de la ecuación 4.25 se toma la derivada total de la saturación de agua, resulta:

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - II

La cantidad de agua que existe en un elemento Ax de la formación a un tiempo t, viene dado por:

y la tasa de acumulación de agua será el cambio de este volumen de agua con respecto al tiempo, es decir:

La variación del volumen de agua con respecto al tiempo, también puede calcularse si se hace un balance de materiales para el elemento Ax de la formación. Así se tiene: 

La variación del volumen de agua con respecto al tiempo, también puede calcularse si se hace un balance de materiales para el elemento Ax de la formación. Así se tiene:

por lo tanto

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - IV

Como se desea obtener la distribución de saturación en el yacimiento a un determinado tiempo, es necesario considerar el movimiento de una saturación Sw en particular. Entonces, si se fija un valor de Sw, esto implica que dSw - 0 y, por consiguiente:

Si se despeja el cambio de saturación con tiempo, se tiene:

Combinando las ecuaciones 4.24 y 4.28, se obtiene:

Como el flujo total es constante, el flujo fraccional no depende de tiempo, esto implica que:

La ecuación 4.32 es la ecuación de la velocidad de un frente de saturación constante, la cual implica que, para una tasa constante de inyección de agua (g,), la velocidad de avance de un plano de saturación de agua constante es directamente proporcional a la derivada de la ecuación de flujo fraccional evaluada a esa saturación. Si se considera insignificante el gradiente de presión capilar en la ecuación 4.8, entonces el flujo fraccional es estrictamente una función de la saturación de agua, indistintamente de si se incluye o no el término de gravedad: de allí, el uso de la diferencial total del flujo fraccional fw, en la ecuación de velocidad. 

Tal como fue deducida, la fórmula de la velocidad de avance del frente de invasión sólo se aplica a la zona situada detrás del frente que precisamente constituye la región de interés, puesto que delante del frente se supone que las saturaciones permanecen constantes.