Cálculo de la derivada del flujo fraccional por métodos analíticos y/o numéricos

Considerando la ecuación de flujo fraccional en forma simplificada, es posible hallar, en algunos casos, la derivada de esa función como una expresión analítica si se puede expresar la razón ko / kw en función de saturación de agua; para esto se han presentado varias expresiones, una de las más conocidas es la siguiente:

donde: ayb son constantes. Así, la ecuación de flujo fraccional queda como sigue:

y, por lo tanto:

Tales expresiones u otras similares pueden ser útiles para el cálculo de la derivada por medio de computadores. En el caso de que no sea posible obtener expresiones analíticas para k0 /kw, pueden utilizarse procedimientos numéricos. Así, por ejemplo, si en la Figura 4.28 se aplica la aproximación central para la deriva- da primera en el cálculo de (dfw ldSu>)ISw2, se tiene:

Es posible usar aun aproximaciones más exactas, tales como las fórmulas de 4,5 y 6 puntos para la derivada primera y puntos igualmente espaciados.

Figura 4.28. Cálculo numérico de la derivada de flujo fraccional en función
de saturación (según Ferrer).

Solución de Welge - II

Otra manera de ilustrar la demostración anterior, es aplicando el teorema del valor medio para hallar la derivada de una función y en un determinado intervalo (a,b). De acuerdo con la Figura 4.26, se tiene:

Es decir, que el valor medio de la derivada en un intervalo es igual a la pendiente de la recta que une los extremos.

Si se aplica tal concepto para determinar el valor medio de la derivada^ /dS, para saturaciones comprendidas entre S¡vr y Slv/, resulta lo siguiente:

Lo anterior indica que la pendiente de la recta que une Swc con Swf es igual a la pendiente a la curva de fw vs Sw, a Sw igual a Swf y, a su vez, es el valor medio de la pendiente entre y Swf. En la Figura 4.27 se puede observar la aplicación del teorema del valor medio a la solución presentada por Buckley y Leverett para determinar la posición de la saturación del frente.

Figura 4.2 7. Cálculo gráfico del valor medio de la derivada de flujo fraccional en función de saturación (según Ferrer).

Solución de Welge - I

Welge finalmente arriba a una solución en 1952, considerada como la más sencilla y lógica y es la que es utiliza en la práctica. A partir de la ecuación 4.47 se puede despejar la derivada de flujo fraccional en función de saturación, por lo tanto:

Esto significa que la pendiente de la recta tangente a la curva de flujo fraccional a la saturación de agua del frente pasa por el punto (5^0), y puesto que el frente es un plano de saturación constante que se mueve a mayor velocidad, se puede fácilmente deducir que tal pendiente será la máxima que pueda trazarse a la curva de flujo fraccional por el punto mencionado, tal como se muestra en la Figura 4.24. Con respecto a la Figura 4.24, se deben tomar en cuenta dos puntos importantes: 

1. La línea tangente a la curva de flujo fraccional debe siempre trazarse desde el punto que corresponde a la saturación de agua inicial. En algunos casos, la saturación de agua inicial es mayor que la saturación de agua irreducible y la línea tangente no se origina en el extremo de la curva de flujo fraccional. La construcción de la tangente en este caso se ilustra en la Figura 4.25. 

2. La saturación del frente, Sw/, es constante desde el momento que comienza la invasión hasta la ruptura. En el momento de la ruptura, tN, la saturación de agua del pozo productor aumentará súbitamente la saturación de agua connata, Sux, hasta Swf. A medida que se continúa con la inyección, la saturación de agua en el pozo productor continuará aumentando hasta alcanzar un valor máximo, Sumúx, el cual es equivalente a 1 -S^.

Solución de Calhoun

Se basa en la distribución de saturación propuesta por Buckley y Leverett, pero requiere que la distribución inicial de saturación sea uniforme, tal como se muestra en la Figura 4.23.

Figura 4.23. Distribución de saturación con distancia según Calhoun".

Calhoun considera que a un determinado tiempo antes de la irrupción, la cantidad de agua inyectada es igual a la cantidad de agua acumulada en el estrato. Así, se tiene:

Igualando las ecuaciones 4.41 y 4.42 y sustituyendo las ecuaciones 4.43 y 4.44, se tiene:

AI resolverse esta expresión, se obtiene:

Solución de Buckley y Leverett

La distribución de saturación que proponen Buckley y Leverett2 parte de la distribución de saturación de la Figura 4.21. Para ubicar el frente de saturación, consideran que en la curva de distribución existe una porción imaginaria (área A) y que la curva de distribución verdadera tiene una discontinuidad en el frente. El método consiste en trazar una vertical de manera que las áreas encerradas a la derecha (área A) y a la izquierda de ella (área B), sean iguales, tal como se muestra en la Figura 4.22. Así se llega a un punto donde existe una caída brusca de Sw hasta el valor inicial Su<. La saturación correspondiente a ese punto es la saturación del frente de invasión, Swf.

Figura 4.22. Distribución de saturación con distancia según Buckley y Leverett.

Este procedimiento no considera los efectos capilares, por lo que no muestra una situación real del proceso, ya que, como se mostró en la sección anterior, el frente de invasión no existe como una discontinuidad, sino como una zona estabilizada de longitud finita con un alto gradiente de saturación.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - Gráfica

Figura 4.21. Distribución de saturación de agua a diferentes tiempos (según Smith y Cobb).

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - III

Figura 4.20. Derivada del flujo fraccional en
función de saturación de agua
(según Ferrer).

Sin embargo, existe una dificultad matemática cuando se aplica esta técnica, la cual se aprecia cuando se considera la curva típica de flujo fraccional (Figura 4.19) en conjunto con la ecuación 4.39. Como generalmente existe un punto de inflexión en la curva de flujo fraccional, entonces la representación gráfica de {dfw /dSw)lSw vs Sw presentará un punto máximo, tal como se muestra en la Figura 4.20, donde se observa que entre la saturación de agua connata, SUIC, y la máxima saturación de agua, existen dos valores de Sw para los cuales la derivada (dfw fdSw), es única. Luego, la distribución de saturación con distancia, presentará una forma similar a la mostrada en la Figura 4.21.

Este perfil de saturación es físicamente imposible, ya que indica que en un determinado punto del yacimiento pueden coexistir múltiples saturaciones. Buckley y Leverett, Calhoun y Welge, presentaron soluciones a este problema.