Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - III

La eficiencia de desplazamiento, ED, se define:

El cambio en la saturación de petróleo se puede expresar en términos del cambio, de la saturación de agua. Hasta el tiempo de ruptura, la saturación promedio del agua es (S wp)bt Entonces,

La ecuación 4.67 se aplica hasta la ruptura de agua cuando no existe gas presente. A la ruptura, x = L, y la ecuación de avance frontal (4.40) se puede expresar como:

Considerando el miembro izquierdo de esta ecuación, se observa que:

La ecuación 4.70 muestra que el agua inyectada a la ruptura expresada en volúmenes porosos es igual al inverso de la tangente a la curva de flujo fraccional. Si la tasa de inyección es constante, el tiempo de ruptura puede calcularse como la razón que existe entre el volumen de agua inyectada acumulada a este tiempo y la tasa de inyección, es decir:

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - II

Reemplazando en la ecuación 4.60 las respectivas expresiones de xSwf, y xSw, se obtiene la siguiente expresión:

Si se despeja Swv de esta última ecuación, se obtiene la expresión analítica para estimar la saturación promedio de agua hasta el momento de la ruptura y para la región detrás del frente de invasión:

Resolviendo la integral y simplificando:

Si se despeja de esta ecuación la derivada, se obtiene:

De donde puede deducirse que la S¡vp puede determinarse directamente mediante la intersección de la recta tangente a la curva fw vs Sw, donde fw= 1, puesto que se sabe que tal recta debe pasar por los puntos (S^f, fj) y (Swp, 1), tal como se muestra en la Figura 4.31. Se ha visto que la saturación de agua del frente de invasión y la saturación promedio del agua, Sll!f y Swp, permanecen constantes desde el comienzo de la inyección de agua hasta la ruptura. Si se considera la Figura 4.29, se observa la distribución de la saturación de agua a tres periodos diferentes: í₍, t₂ y t_bl. Se observa que en cada caso, S_wf y S_wp son constantes.

Más aún, S_wp es constante hasta la ruptura; por lo tanto, hasta el momento de la ruptura, la saturación promedio del agua se denota como 

Figura 4.31. Determinación gráfica de la saturación promedio de agua, S_wp.

Esto significa que la saturación de agua en la porción del yacimiento barrida por el agua aumenta una cantidad

Cálculo de la saturación promedio de agua en el estrato en el momento de la ruptura, S - I

A partir del gráfico de distribución de saturación con distancia, Figura 4.29, consi- dérese el caso que corresponde a la ruptura y que se representa a continuación en la Figura 4.30.

Figura 4.29. Distribución de saturación entre inyector y productor a tres tiempos diferentes incluyendo la ruptura de agua (según Smith y Cobb).

Figura 4.30. Determinación de la saturación promedio de agua en el momento de la ruptura (según Calhoun")

Se observa que la cantidad de agua que se ha inyectado a la ruptura, es igual a la cantidad de agua acumulada en el medio poroso hasta este tiempo. Haciendo este balance se tiene: (Agua inyectada ), =(Agua acumulada), Luego para la región detrás del frente de invasión, se puede escribirla ecuación:

Aplicaciones de la teoría de desplazamiento

Determinación de la distribución de saturación con distancia 

Conocida la saturación en el frente, puede obtenerse fácilmente la distribución de saturación mediante la aplicación de la ecuación de la velocidad de avance del frente. El procedimiento será como sigue: considérese al frente de invasión en el extremo de salida del estrato a un tiempo, cuando se produce la ruptura o irrupción del frente de invasión. En este caso puede escribirse:

A este tiempo, un frente de saturación Sw mayor que Swf se encontrará a una distancia x dada por:

Luego, dividiendo la ecuación 4.57 entre la ecuación 4.56, resultará:

La ecuación 4.59 puede utilizarse para determinar la distribución de saturación a diferentes tiempos. Una vez determinado

se eligen valores de Sw mayores que S^ y menores

medidas a partir del punto de inyección donde se encuentra e! plano de saturación Sw. Este procedimiento se repite para diferentes tiempos y luego se construye el gráfico de distribución de saturación en función de la distancia y del tiempo, tal como se presen- ta en la Figura 4.29. Esta figura muestra la saturación de agua en tres períodos diferentes, th t2 y tb,. Se observa que en cada tiempo, Sfw y Swp son constantes y permanecen constantes hasta la ruptura, por ello usualmente se denotan como

Cálculo de la derivada del flujo fraccional por métodos analíticos y/o numéricos

Considerando la ecuación de flujo fraccional en forma simplificada, es posible hallar, en algunos casos, la derivada de esa función como una expresión analítica si se puede expresar la razón ko / kw en función de saturación de agua; para esto se han presentado varias expresiones, una de las más conocidas es la siguiente:

donde: ayb son constantes. Así, la ecuación de flujo fraccional queda como sigue:

y, por lo tanto:

Tales expresiones u otras similares pueden ser útiles para el cálculo de la derivada por medio de computadores. En el caso de que no sea posible obtener expresiones analíticas para k0 /kw, pueden utilizarse procedimientos numéricos. Así, por ejemplo, si en la Figura 4.28 se aplica la aproximación central para la deriva- da primera en el cálculo de (dfw ldSu>)ISw2, se tiene:

Es posible usar aun aproximaciones más exactas, tales como las fórmulas de 4,5 y 6 puntos para la derivada primera y puntos igualmente espaciados.

Figura 4.28. Cálculo numérico de la derivada de flujo fraccional en función
de saturación (según Ferrer).

Solución de Welge - II

Otra manera de ilustrar la demostración anterior, es aplicando el teorema del valor medio para hallar la derivada de una función y en un determinado intervalo (a,b). De acuerdo con la Figura 4.26, se tiene:

Es decir, que el valor medio de la derivada en un intervalo es igual a la pendiente de la recta que une los extremos.

Si se aplica tal concepto para determinar el valor medio de la derivada^ /dS, para saturaciones comprendidas entre S¡vr y Slv/, resulta lo siguiente:

Lo anterior indica que la pendiente de la recta que une Swc con Swf es igual a la pendiente a la curva de fw vs Sw, a Sw igual a Swf y, a su vez, es el valor medio de la pendiente entre y Swf. En la Figura 4.27 se puede observar la aplicación del teorema del valor medio a la solución presentada por Buckley y Leverett para determinar la posición de la saturación del frente.

Figura 4.2 7. Cálculo gráfico del valor medio de la derivada de flujo fraccional en función de saturación (según Ferrer).

Solución de Welge - I

Welge finalmente arriba a una solución en 1952, considerada como la más sencilla y lógica y es la que es utiliza en la práctica. A partir de la ecuación 4.47 se puede despejar la derivada de flujo fraccional en función de saturación, por lo tanto:

Esto significa que la pendiente de la recta tangente a la curva de flujo fraccional a la saturación de agua del frente pasa por el punto (5^0), y puesto que el frente es un plano de saturación constante que se mueve a mayor velocidad, se puede fácilmente deducir que tal pendiente será la máxima que pueda trazarse a la curva de flujo fraccional por el punto mencionado, tal como se muestra en la Figura 4.24. Con respecto a la Figura 4.24, se deben tomar en cuenta dos puntos importantes: 

1. La línea tangente a la curva de flujo fraccional debe siempre trazarse desde el punto que corresponde a la saturación de agua inicial. En algunos casos, la saturación de agua inicial es mayor que la saturación de agua irreducible y la línea tangente no se origina en el extremo de la curva de flujo fraccional. La construcción de la tangente en este caso se ilustra en la Figura 4.25. 

2. La saturación del frente, Sw/, es constante desde el momento que comienza la invasión hasta la ruptura. En el momento de la ruptura, tN, la saturación de agua del pozo productor aumentará súbitamente la saturación de agua connata, Sux, hasta Swf. A medida que se continúa con la inyección, la saturación de agua en el pozo productor continuará aumentando hasta alcanzar un valor máximo, Sumúx, el cual es equivalente a 1 -S^.