Solución de Calhoun

Se basa en la distribución de saturación propuesta por Buckley y Leverett, pero requiere que la distribución inicial de saturación sea uniforme, tal como se muestra en la Figura 4.23.

Figura 4.23. Distribución de saturación con distancia según Calhoun".

Calhoun considera que a un determinado tiempo antes de la irrupción, la cantidad de agua inyectada es igual a la cantidad de agua acumulada en el estrato. Así, se tiene:

Igualando las ecuaciones 4.41 y 4.42 y sustituyendo las ecuaciones 4.43 y 4.44, se tiene:

AI resolverse esta expresión, se obtiene:

Solución de Buckley y Leverett

La distribución de saturación que proponen Buckley y Leverett2 parte de la distribución de saturación de la Figura 4.21. Para ubicar el frente de saturación, consideran que en la curva de distribución existe una porción imaginaria (área A) y que la curva de distribución verdadera tiene una discontinuidad en el frente. El método consiste en trazar una vertical de manera que las áreas encerradas a la derecha (área A) y a la izquierda de ella (área B), sean iguales, tal como se muestra en la Figura 4.22. Así se llega a un punto donde existe una caída brusca de Sw hasta el valor inicial Su<. La saturación correspondiente a ese punto es la saturación del frente de invasión, Swf.

Figura 4.22. Distribución de saturación con distancia según Buckley y Leverett.

Este procedimiento no considera los efectos capilares, por lo que no muestra una situación real del proceso, ya que, como se mostró en la sección anterior, el frente de invasión no existe como una discontinuidad, sino como una zona estabilizada de longitud finita con un alto gradiente de saturación.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - Gráfica

Figura 4.21. Distribución de saturación de agua a diferentes tiempos (según Smith y Cobb).

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - III

Figura 4.20. Derivada del flujo fraccional en
función de saturación de agua
(según Ferrer).

Sin embargo, existe una dificultad matemática cuando se aplica esta técnica, la cual se aprecia cuando se considera la curva típica de flujo fraccional (Figura 4.19) en conjunto con la ecuación 4.39. Como generalmente existe un punto de inflexión en la curva de flujo fraccional, entonces la representación gráfica de {dfw /dSw)lSw vs Sw presentará un punto máximo, tal como se muestra en la Figura 4.20, donde se observa que entre la saturación de agua connata, SUIC, y la máxima saturación de agua, existen dos valores de Sw para los cuales la derivada (dfw fdSw), es única. Luego, la distribución de saturación con distancia, presentará una forma similar a la mostrada en la Figura 4.21.

Este perfil de saturación es físicamente imposible, ya que indica que en un determinado punto del yacimiento pueden coexistir múltiples saturaciones. Buckley y Leverett, Calhoun y Welge, presentaron soluciones a este problema.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - II

A un tiempo dado posterior al comienzo de la inyección (VV; = constante), se puede representar la posición de diferentes planos de saturación, mediante la ecuación 4.39,simplemente calculando la pendiente a la curva de flujo fraccional

Para cada saturación. De acuerdo con la ecuación 4.39, la distancia x recorrida por un frente de saturación constante en el intervalo de tiempo t, es proporcional a la pendiente de la recta tangente a la curva de flujo fraccional a esta saturación

Por consiguiente, si se construye el gráfico de la pendiente a la curva de flujo fraccional a varias saturaciones, es posible determinar la distribución de saturación en el yacimiento en función de tiempo.

Figura 4.19. Pendiente a la curva de flujo fraccional a diferentes saturaciones
de agua.

Determinación de la saturación del frente de invasión, Swf - I

Integrando la ecuación 4.32 para determinar la distancia x recorrida por un plano de saturación constante, resulta:

En unidades prácticas, la ecuación de avance frontal viene dada por:

donde

Longitud de la zona estabilizada - III

La Figura 4.18, muestra cómo se mide

Figura 4.18. Distribución de saturación en la zona estabilizada mostrando la posición de un frente de saturación constante para (Swc < S_w < Swf).

Longitud de la zona estabilizada - II

No es posible resolver analíticamente la integral de la ecuación 4.37 y, por lo tanto, deben utilizarse métodos numéricos o gráficos. La representación gráfica de los términos en la integral, en función de saturación, se muestra en la Figura 4.! 7. Esta figura puede utilizarse convenientemente para obtener la distribución de saturación en la zona estabilizada; en tal caso, la longitud a la cual se encuentra un plano de saturación Su„ medida a partir del punto de la zona estabilizada más lejano del extremo de inyección, viene dada por:

Longitud de la zona estabilizada - I

Considerando que el desplazamiento se está llevando a cabo en una arena horizontal, la ecuación 4.33 está representada por la curva (1) de la Figura 4.15, y la curva (2) está dada por la fórmula simplificada de la ecuación de flujo fraccional (ecuación 4.14).

Puesto que sólo se desea obtener la longitud de la zona estabilizada, puede expresarse más convenientemente como sigue:

Como las saturaciones de la zona estabilizada varían entre Swf y Swc, puede obtenerse su longitud por integración entre tales límites:

Concepto de zona estabilizada - II

Para que sea constante para Sw comprendida entre es necesario que la curva de fw vs S^ sea recta en ese intervalo, de manera que tal gráfico tenga la forma mostrada en la Figura 4.15. 

Experimentalmente se ha comprobado que cuando exista zona estabilizada la distribución de saturación será la presentada en la Figura 4.16.

Figura 4.16. Distribución de saturación con distancia cuando existe zona estabilizada (según
Smllh).

Concepto de zona estabilizada - I

La ecuación de flujo fraccional para una formación horizontal preferencialmente mojada por agua, tomando en cuenta las fuerzas capilares, se escribe como sigue:

La ecuación 4.33 indica que el flujo fraccional de agua es una función de la saturación de dicha fase, la que a su vez lo es de distancia; así que la influencia del término que contiene

dependera de la saturación 

La consideración anterior, así como los resultados de laboratorio, han permitido llegar a la conclusión de que el frente de invasión no es plano, tal como se ha venido considerando hasta ahora, sino que es una zona de extensión y forma definida que se mantiene con el tiempo. Esta zona o región se estabiliza al poco tiempo de comenzar la inyección, por lo que se acostumbra denominarla zona estabilizada.

La existencia de dicha zona permite llegar a la conclusión de que algunas de las ecuaciones o procedimientos descritos hasta ahora deben modificarse para tomarla en consideración y estudiar su efecto sobre la recuperación. El hecho de que su forma no cambia con el tiempo implica que (cbc/dt) es constante para todo Sw comprendido entre S^ y SuY, y. puesto que (dx/dt) es proporcional a (afw /aS)u, esta derivada debe también ser constante para el mismo intervalo de saturaciones.

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - III

Igualando las ecuaciones 4.18 y 4.20 se obtiene el cambio del volumen de agua a un determinado tiempo en función del cambio experimentado por la fase agua a ese mismo tiempo:

Sustituyendo la ecuación 4.23 en la ecuación 4.21, resulta la expresión siguiente:

Esta ecuación da la saturación de agua como una función de tiempo en el punto x, dentro del sistema lineal, pero la expresión que se requiere es la de saturación de agua como una función de x a un determinado tiempo t. Como se conoce que Sw es, en forma general, una función de x y t, se puede escribir:

Por tanto, si de la ecuación 4.25 se toma la derivada total de la saturación de agua, resulta:

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - II

La cantidad de agua que existe en un elemento Ax de la formación a un tiempo t, viene dado por:

y la tasa de acumulación de agua será el cambio de este volumen de agua con respecto al tiempo, es decir:

La variación del volumen de agua con respecto al tiempo, también puede calcularse si se hace un balance de materiales para el elemento Ax de la formación. Así se tiene: 

La variación del volumen de agua con respecto al tiempo, también puede calcularse si se hace un balance de materiales para el elemento Ax de la formación. Así se tiene:

por lo tanto

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - IV

Como se desea obtener la distribución de saturación en el yacimiento a un determinado tiempo, es necesario considerar el movimiento de una saturación Sw en particular. Entonces, si se fija un valor de Sw, esto implica que dSw - 0 y, por consiguiente:

Si se despeja el cambio de saturación con tiempo, se tiene:

Combinando las ecuaciones 4.24 y 4.28, se obtiene:

Como el flujo total es constante, el flujo fraccional no depende de tiempo, esto implica que:

La ecuación 4.32 es la ecuación de la velocidad de un frente de saturación constante, la cual implica que, para una tasa constante de inyección de agua (g,), la velocidad de avance de un plano de saturación de agua constante es directamente proporcional a la derivada de la ecuación de flujo fraccional evaluada a esa saturación. Si se considera insignificante el gradiente de presión capilar en la ecuación 4.8, entonces el flujo fraccional es estrictamente una función de la saturación de agua, indistintamente de si se incluye o no el término de gravedad: de allí, el uso de la diferencial total del flujo fraccional fw, en la ecuación de velocidad. 

Tal como fue deducida, la fórmula de la velocidad de avance del frente de invasión sólo se aplica a la zona situada detrás del frente que precisamente constituye la región de interés, puesto que delante del frente se supone que las saturaciones permanecen constantes.

Ecuación de avance frontal o ecuación de la velocidad del frente de invasión - I

En 1942 Buckley y Leverett presentaron la ecuación básica para describir el desplazamiento inmiscible en una sola dimensión2. Si se considera que el agua está desplazando al petróleo, la ecuación determina la velocidad de avance de un plano de saturación de agua constante que se mueve a través de un sistema poroso lineal, en el cual se está inyectando un fluido a una tasa q,. Aplicando la ley de Conservación de la Masa al flujo de fluidos (agua y petróleo) en la dirección x, a través del elemento de volumen AijiAx de la formación, representado esquemáticamente en la Figura 4.14, se tiene:

Figura 4.14. Tasa másica de flujo a través de un elemento lineal de volumen AO Ax.

Viscosidad del agua

Si la viscosidad del agua aumenta, el flujo fraccional del agua disminuye y la eficiencia de desplazamiento será mayor. Este efecto puede alcanzarse, por ejemplo, con la adición de ciertos polímeros al agua, pero hay que tener en cuenta que un aumento de viscosidad puede disminuir la inyectividad. La Figura 4.13 representa el efecto de la viscosidad del agua.

Figura 4.12. Efecto de la viscosidad del petróleo sobre el flujo fraccional de
agua (según Smith y Cobb).

Figura 4.13. Efecto de la viscosidad del
agua sobre el flujo fraccional de agua.

Viscosidad del petróleo

Si se inyecta el agua buzamiento arriba y se consideran insignificantes los efectos de presión capilar, el flujo fraccional aumentará a medida que la viscosidad del petróleo aumenta, lo cual conduce a altos valores de fw y, por consiguiente, a que el desplazamiento de petróleo sea menor. La Figura 4.12 representa el efecto de la viscosidad del petróleo.

Figura 4.11. Efecto de la tasa de inyección sobre el (lujo fraccional de agua (según Smith).

Tasa de Inyección

El efecto de la tasa de inyección depende de si el agua se mueve buzamiento arriba o buzamiento abajo. Como el objetivo es minimizar fw, se observa en la ecuación de flujo fracciona! que la tasa de inyección q, debe tener un valor bajo. 

Si el agua se mueve buzamiento abajo, será mejor inyectar a altas tasas. Desde un punto de vista práctico, la tasa de inyección es controlada por la economía del proyecto y por las limitaciones físicas del equipo de inyección y del yacimiento. La Figura 4.11 representa el efecto de la tasa de inyección.

Humectabilidad

El desplazamiento de petróleo en una roca humectada por agua es generalmente más eficiente que en una humectada por petróleo. Esto significa que la curva de flujo fraccional tiene un valor más bajo a una determinada saturación de agua. La Figura 4.10 representa el efecto de la humectabilidad.

Presión capilar

El efecto de la presión capilar sobre el flujo fraccional se puede analizar considerando la combinación de las derivadas que se presentan en la ecuación 4.13. Si se consideran en la Figura 4.5 los puntos de saturación, (A) y (B), en el gráfico de saturación (¿u,) versus distancia (*), y los mismos puntos en el gráfico de presión capilar (Pc) ver Luego, como se muestra en la Figura 4.9, el efecto de la presión capilar es aumentar fw. Es por esto, que en una invasión con agua, es deseable disminuir o eliminar el gradiente de presión capilar, lo cual puede realizarse alterando la humectabilidad de la roca o eliminando la tensión interfacial entre el petróleo y el agua.

Factores que afectan el flujo fraccional de agua - II

Figura 4.8. Flujo fraccional de agua en función
del ángulo de buzamiento de la formación.

Efecto del ángulo de buzamiento 

En la deducción de la ecuación 4.10 se consideró que a es el ángulo medido desde la horizontal a la línea que indica la dirección de flujo. Por lo tanto, el término gravitacional CApg sen a será positivo para el desplazamiento de petróleo en la dirección buzamiento arriba, es decir (0 < a < n); y será negativo para un desplazamiento buzamiento abajo (n < a < 2n). 

Como resultado de esto, si se consideran todos los demás términos de la ecuación 4.10 invariables, el flujo fraccional de agua para un desplazamiento buzamiento arriba será menor que para un desplazamiento buzamiento abajo, ya que, en el primer caso, la gravedad tiende a disminuir el flujo del agua. La Figura 4.8 representa el efecto del ángulo de buzamiento.

Factores que afectan el flujo fraccional de agua - I

La ecuación de flujo fraccional permite estudiar el efecto de varias variables del yacimiento sobre la eficiencia de los proyectos de inyección. Para tener una alta eficiencia de desplazamiento y, en consecuencia, una inyección más eficiente, se requiere que el flujo fracciona] de agua en cualquier punto del yacimiento sea mínimo. A continuación se analiza la ecuación 4.10 para determinar los efectos de diferentes variables del yacimiento sobre la eficiencia de desplazamiento.

Curva tiplea de flujo fraccional - Gráfica

Figura 4.7. Curva típica de flujo fraccional.

Curva tiplea de flujo fraccional

Tal como lo señalan Smith y Cobb6 se puede resumir que la ecuación de flujo fraccional es una relación muy importante, pues permite determinar las tasas de flujo de petróleo y agua en cualquier punto del sistema de flujo considerado. Además, también incorpora todos los factores que afectan la eficiencia de desplazamiento de un proyecto de inyección de agua, como son: las propiedades de los fluidos 

Ias Propiedades de la roca  la tasa de inyección (q1) el gradiente de presión. Si la tasa total de flujo es constante, y si se supone que el desplazamiento de petróleo se lleva a cabo a temperatura constante, entonces las viscosidades del agua y del petróleo tienen un valor fijo y la ecuación simplificada del flujo fraccional es estrictamente función de saturación de agua. Para una serie de valores típicos de permeabilidades relativas, como se presentan en la Figura 4.6, la curva de fu, vs Sw cuando se hace cero el gradiente de presión capilar en la ecuación 4.10 tiene forma de S invertida como se muestra en la Figura 4.7, con saturaciones límites entre S^ y (1-Sw) entre los cuales el flujo fraccional aumenta desde cero hasta uno. La curva de flujo fraccional es de gran utilidad en la predicción y análisis del comportamiento de yacimientos durante una invasión de agua o de gas. 

Ecuaciones simplificadas del flujo fraccional

La Tabla 4.1 muestra cada uno de los casos que simplifican la ecuación de flujo fraccional.

  Tabla 4.1 

Ecuaciones simplificadas del flujo fraccional de agua